h�b```f``Je`e`�9� Ȁ �@16�N @p,��7�'�A�C��,���� މmk�u���tAT�9���q���� �3�>I�0�2L�����4�Ϊ���#�lr�b�g����4�p�� �e� Maintenant Attila poursuit sa course, … On poche les cases paires, ou bien les cases impaires, les autres restant alors vierges. Il sera préservé de feu et d'eau, mourra en honneur et vieillesse et sera pourvu de grandes charges. 26On peut naturellement faire la même manipulation avec les sommes des médianes, avec le même résultat. Dans les diagonales intermédiaires (sur fond blanc), ces progressions sont moins régulières, s’arrêtant en cours de route, et reprenant à partir d’un autre nombre. 4Tout d’abord c’est un carré magique de type associé : la somme des termes complémentaires3 est constante et égale à la constante de polarisation S (dénomination du général Cazalas, 1934), qui est elle-même égale à S = n2 + 1, soit S = 82 dans le cas qui nous occupe. 189 0 obj <>/Filter/FlateDecode/ID[<6821104590D8F769AD71EBB55193D63D>]/Index[163 47]/Info 162 0 R/Length 120/Prev 407803/Root 164 0 R/Size 210/Type/XRef/W[1 3 1]>>stream 6 est la racine digitale de 645. Westerly dit : 4 février 2016 à 13 h 47 min Bibnum est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International. 45On peut également paver cette grille avec 27 triminos : une des solutions se déduit aisément de l’exemple ci-dessus. Les valeurs des quantités m2 (k – 1) sont données dans le tableau ci-dessous.

On ne peut pas se tromper : on remplit ainsi une diagonale brisée après l’autre, dans toute la grille.

Mais nous ne la reproduirons pas, car cela demanderait plusieurs pages. %PDF-1.5 %���� 62Chaque bloc d’ordre n = 3 de la grille-produit d’ordre n = 9, est issu du carré magique d’ordre m = 3, auquel on ajoute, à chaque terme, la quantité m2 (k – 1), k étant la valeur de la case correspondante dans le second carré magique d’ordre 3. 13 Appel aux amateurs courageux et entreprenants, qui pourront s’inspirer des méthodes pour faire le produit de deux carrés magiques, par celles décrites dans René Descombes, Les Carrés magiques, op. 63Cette méthode dans un mode inverse, permettrait-elle, étant donné un carré magique normal d’ordre n = 9, d’en extraire la racine carrée, comme c’est possible par ailleurs pour tout nombre positif ? C’est un problème très difficile – peut-être insoluble ? cit ., pp. Dans l’Enchiridion Leonis Papae, que l’on peut traduire Manuel du pape Léon, un « grimoire » rédigé vers 795, on trouve de mystérieuses oraisons, des invocations, des conjurations pour tous les maux et circonstances, des textes des rois antiques, ainsi que des formules pour déclencher les forces sacrées, des sceaux, des pentacles, des talismans… L’Enchiridion fut offert par Léon III à Charlemagne. Au départ de l’une des cases de la grille d’ordre n = 9, on peut imaginer 4 marches principales diagonales, et 16 sauts secondaires en fin de cycle10, soit : 81 x 4 x 16 = 5 184 carrés magiques de type papal. Il fut élu membre de l’Académie Française en 1693. Nous restons à la disposition des lecteurs qui en voudraient copie. 38Ce cas particulier se dénombre ainsi : avec le choix de la case-départ parmi les n2 = 49 cases de la grille, le choix du cheminement dans l’une des 8 marches du cavalier, et le choix de l’un des 12 sauts secondaires orthogonaux possibles en fin de cycle, le nombre N de carrés magiques ou semi-magiques que l’on peut ainsi construire théoriquement est N = 49 x 8 x 12 = 4 704. 14Compte-tenu de la progression rapide de N, on peut augurer que le carré magique papal compte un nombre impressionnant de combinaisons de neuf termes dont la somme est « magique ». 46Mais peut-on paver la grille du carré magique papal avec 9 polyminos d’ordre n = 9 « magiques », c’est-à-dire dont la somme S des neuf termes soit égale à la constante magique de ce carré magique, soit S = M9 = 369 ? 29Voici néanmoins une méthode de construction de ce carré magique papal, très simple, et qui ne nécessite que quelques lignes d’explications : On établit un cheminement régulier, parallèle à la première diagonale principale. Ce fut un grand admirateur et ami de Charlemagne ; lorsque sa légitimité fut contestée, en 799, il se réfugia auprès de Charlemagne à Paderborn, en Saxe. 209 0 obj <>stream petite grille ci-dessus à droite ).

Dans cette éventualité, on peut construire : 81 x 4 x 72 = 23 328 carrés magiques de ce type. h��Xmo�8�+��jE��$ҪR��nۭn��C La version de la Prière à saint Michel Archange du pape Léon XIII est prophétique. † Ainsi soit-il.

5Dans le cas d’un carré magique d’ordre impair, ce qui est le cas du carré magique d’ordre n = 9 étudié, la case centrale est égale à la moitié de cette constante de polarisation, soit 41 ; c’est aussi le terme médian de la série des entiers «  1, 2, 3,. . Voir la notice dans le catalogue OpenEdition, Plan du site – Contact – Crédits du site – Flux de syndication, Nous adhérons à OpenEdition Journals – Édité avec Lodel – Accès réservé, Vous allez être redirigé vers OpenEdition Search, Enchiridion Leonis Papæ Serinissimo Imperatori Carolo Magno, (Enchiridion du pape Léon, envoyé à l’empereur Charlemagne), Les carrés magiques planétaires d’Agrippa, À propos du carré magique d’Albrecht Dürer (1514), Portail de ressources électroniques en sciences humaines et sociales, Le carré magique papal est autocomplémentaire, La duplication du carré magique du pape Léon III – La Méthode des quatre carrés. 16Et si ce « complémentaire » se superpose, après rotation(s), avec le carré d’origine, ce dernier est alors dit « autocomplémentaire ». 7 On définit la lyre d’un carré magique comme le résultat du placement des termes en ordre croissant d’une ligne à l’autre, dans une grille de même ordre. Il s’agit de la « Méthode siamoise » rapportée par Simon de La Loubère (1642–1729), qui fut ambassadeur extraordinaire de Louis XIV auprès de Naraï, roi de Siam (Thaïlande actuelle), vers 1687–1688. Homme d’église de l’époque carolingienne, Léon III, né et décédé à Rome (750–816), fut pape de 795 à 816, soit pendant une vingtaine d’années. Dans les colonnes, on constate certaines différences Δ égales : dans les termes des lignes 1/2, 3/4 et 5/6, deux à deux : Δ = 54 ; dans les termes des lignes 2/3 et 4/5 : Δ = 270 ; Toutes ces différences Δ sont des multiples de 9. 24Maintenant, si l’on place les sommes des différentes diagonales de chaque sous-carré, dans une grille d’ordre n = 3 (ci-dessous), on forme un carré magique type associé, de constante magique M’3 = 369, et de constante de polarisation6S = 246, soit le double de la case centrale. La grille numérique carrée ci-dessus se trouve telle quelle, sans aucun commentaire, dans un opuscule connu sous le nom d’Enchiridion du pape Léon, rédigé par Léon III. 81 ». Au-delà de n = 6, il est nécessaire de disposer d’un ordinateur ayant une capacité-mémoire très importante. …et la racine carrée d’un carré magique ? 73Ainsi, le carré magique du pape Léon III, s’il demeure une énigme au sein de l’Enchiridion, n’a rien de mystérieux en lui-même, et n’en présente pas moins, après décryptage, des propriétés tout-à-fait intéressantes, sinon remarquables. La Loubère était, entre autres, mathématicien : il a laissé un ouvrage posthume De la résolution des équations, ou de l’extraction de leurs racines, publié en 1732. 28Le colonel Mouny (1930-2007) n’est hélas plus là pour nous communiquer cette fameuse méthode de M. Alain Becquart pour la construction du carré magique du pape Léon III…. ��hF��", 9Parallèlement à la seconde diagonale, on peut faire les mêmes remarques : les termes, dans une diagonale sur deux, sont tous en progression arithmétique régulière de raison r = 9. h�bbd```b``q�!

357-359. 59Ceci ne semble pas être le cas du carré magique papal : peut-on à cet égard, pour le vérifier, extraire la racine carrée d’un carré magique : est-ce une opération possible ? endstream endobj 164 0 obj <> endobj 165 0 obj <> endobj 166 0 obj <>stream 20Dans le « Complémentaire », avec n2 + 1 = 26, on retrouve les alignements horizontaux inversés (ce qui correspond à une symétrie dont l’axe vertical se trouverait entre les deux grilles), mais les lignes correspondantes ont subi une permutation circulaire. Propulsé par Créez votre propre site Web unique avec des modèles personnalisables. Il a publié plusieurs ouvrages de mathématiques. 41Dans les lignes de la lyre correspondante, ces sommes sont en progression arithmétique : r = 9. Il favorisa l’introduction et l’essor en Occident de la numération de position, des tables d’opération et des chiffres dits arabes. 21Remarquons que les termes des cycles successifs de n = 5, sont bien situés sur une permutation figurée dans les deux grilles (cases pochées – voir plus loin).

ci-dessus ce découpage). 48Voici à présent le tracé régulier remarquable du carré magique du pape Léon III, à symétrie centrale : la méthode de construction par cheminement apparait nettement. 68Considérons les restes ou résidus r de la division par 9 de chaque terme « N » de la grille papale : N = 9 d + r. 69Cette division par 9 correspond par ailleurs à ce que les numérologues nomment la réduction d’un nombre, soit la recherche de sa racine numérique ou racine digitale : on additionne tous les chiffres du nombre en cause, et on recommence cette addition jusqu’à ce que l’on obtienne un seul chiffre. Enchiridion Leonis Papæ Serinissimo Imperatori Carolo Magno (Enchiridion du pape Léon, envoyé à l’empereur Charlemagne). 66Remarquons que les mosaïques magiques de deux carrés magiques jumeaux ou complémentaires, sont identiques ou superposables. Et obtenir un carré magique d’ordre n = 81, de 6 561 cases, de constante magique M81 = 265 761, et rechercher alors les propriétés caractéristiques de ce carré papal à la puissance deux13 ! D�z��a �p��V$ ������.4�d`����)�@� �&s ci-dessous de 7 à 8)11 ; Lignes et colonnes sont magiques, mais seule la seconde diagonale l’est. † Que la Croix de Jésus-Christ me délivre de toutes les adversités et de tous les malheurs de cette vie. Il le couronna empereur, à Noël 800, dans la basilique Saint-Pierre de Rome. On part de la case numérotée « 1 », juste au-dessous de la case centrale (n° 50 du carré naturel correspondant), en procédant aux reports habituels lorsque l’on tombe en dehors de la grille, et l’on saute une case vers le bas en fin de cycle, après 9 sauts : soit dans ce premier cycle, après le 9, on poursuit par le 10, en sautant une case vers le bas.